地球を一周するときにどこの部分を回るかで一周の長さはどう違ってくるか

今回のブログは数学と地理の雑学話。

地球の一周は約4万kmとは言われています。この数値は赤道に沿って一周した場合の長さのようですが、まぁ大雑把に見ればどこを回っても同じような長さでしょう(たぶん)。

で、ふと考えたのですが、例えば南極点から1m離れた場所をスタートしてそのまま南極点の周りを一周すれば約6.3m歩くだけで一周出来るのではないかと。別に南極点で無くとも、適当にある点を定めてそこを中心として一周すればどこでも同じ話になるでしょう。
「一周」をどう定義して扱うかになると思いますが、考えてみると結構おもしろいものです。

そこで話を終わらせるのもなんなので、もう少し考えていくことにします。
一周の最も長い場所が約4万kmとして、そこから離れた場所で一周するときの距離はどう計算すればいいかを考えることにします。
離れた場所の位置をどう表すかによるでしょうけど、ここでは緯度を使ってみることにします。緯度は赤道が0°で北極が北緯90°ですが、実際の地球の話にすると結構込み入った話になって取り扱い難いので簡単に球として考えることにします。

一周のイメージ図としては以下の通り。赤道を回るのがピンクの線で、任意の位置の赤道と平行になるような一周を赤で表しています。

円として見やすいよう上から見たときのイメージ図を描くと以下の通り。

さて、緯度が与えられているので、これを利用して赤い線の円の長さを計算することにします。
再び3Dの球体モデルに戻って考えると、図としては以下のようになります。

図より任意の一周の半径はxなので、xは三角関数を利用してcosθ*rで計算出来ます。rは球の半径なので4万km/(2*3.14)で求められます。半径が求まれば後は 2x * 3.14で一周の長さが計算出来ます。

実際の地点で計算してみます。東京は北緯35.7°あたりなので、ここから赤道と平行に一周回ると
2πr = cos(35.7)*40000/(2*3.14)*2*3.14≒32500
と約3万2500km。赤道周るよりも約7500km短くなるようですね。球をモデルで計算してるので、これが実際の長さになるわけではないですが、まぁ計算するとすればこんな感じ。