[読書日記] 高校数学でわかるフーリエ変換

フーリエ変換…。正直、いままでまともに勉強したことがなかったです…。理系の大学院でたのに…。なんとな～く、まぁそんなもんだろう的な解釈でやり過ごしてきたわけですが、最近ちょうどいい入門書が出版されたので、これで勉強してみることにします！

BLUE BACKS
高校数学でわかるフーリエ変換　フーリエ級数からラプラス変換まで
竹内　淳

まずp30あたりの・フーリエ級数の実例　であげられている級数を見てみることにします。
数式としては

y = 4/π(sinθ+1/3sin3θ+1/5sin5θ+…)

これをnが無限大までとると、方形波と呼ばれる波形になります。どんな関数の形になるかというと、

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という形になります。sinの関数なのにこんなカクカクした形になるのは不思議ですね。さて、本にはnを無限大までとると、こういう形になる、と書いてあるのですが、本当にこんな形になるのか確かめてみました。

まず、1項目だけの単純なsinカーブ。

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n=2までとると、ちょっとそれっぽく見えるがまだ形としてはsinカーブ。

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n=3。あまり変化なし。

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n=8。だんだん形が四角くなってきたが、まだ波が残っている。

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n=26。角にまだ波が若干大きく残っている。

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n=51。四角になるまでもうちょい。

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n=251。ほとんど四角だが、わずかに角にでっぱりが出ている。

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n=501。ほとんど四角。わずかに角が出ている。

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n=2501。ほぼ完全に四角。sin関数の足し合わせだけで、こんな形も表すことができる！

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と、まぁこのようにnを無限大とまではいかなくても十分大きくとることで、方形波になることが確認できました。

ちなみに、このグラフの作成はgnuplotを使用しています。それから、nを大きくするのは全て手打ちでやったわけではありません。n=2501とか手で打っていたら日が暮れてしまいますからね。この辺はプログラムを組んでgnuplotへ渡すファイルを作成してやりました。